待ち行列理論

過去問① 令和４年春期 問３

M/M/1の待ち行列モデルにおいて，窓口の利用率が25%から40%に増えると，平均待ち時間は何倍になるか。

ア．1.25
イ．1.60
ウ．2.00
エ．3.00

解答：ウ

利用率とは平均利用率ρのことで、公式2を使用して解答を導くことができます。

利用率が25％（0.25）の時：
$$\frac{0.25}{1-0.25}×Ts = \frac{1}{3}× Ts$$
よって、
$$平均待ち時間Tw=\frac{1}{3}× Ts$$

利用率が40％（0.4）の時：
$$\frac{0.4}{1-0.4}×Ts = \frac{2}{3}× Ts$$
よって、
$$平均待ち時間Tw=\frac{2}{3}× Ts$$

以上から、平均待ち時間は利用率40％の時は利用率25％の時の２倍となっていることが分かります。よって解答はウです。

過去問②　令和3年秋期 問2、平成27年春期 問1

ATM(現金自動預払機)が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し，統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで，待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い，平均待ち時間にはサービス時間を含まず，ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。
〔条件〕
・平均サービス時間：Ts
・統合前のシステムの利用率：両支店ともρ
・統合後の利用者数は，統合前の両支店の利用者数の合計

解答：エ

平均サービス時間は「窓口の処理時間が平均してどのくらいか」という指標であり、本問においてはシステムの性能に関わってきます。統合したとしてもシステム性能は変わらないことから平均サービス時間Tsは変わりません。利用率ρは統合したことによって２店舗の利用率を足し合わせた数値になることが考えられることから、統合後は2ρとなります。
よって、ρを適切に２倍しているエが正解となります。

過去問③　令和元年秋期 問3、平成25年秋期 問5、平成21年春期 問1

通信回線を使用したデータ伝送システムにM/M/1の待ち行列モデルを適用すると，平均回線待ち時間，平均伝送時間，回線利用率の関係は，次の式で表すことができる。

回線利用率が0から徐々に増加していく場合，平均回線待ち時間が平均伝送時間よりも最初に長くなるのは，回線利用率が幾つを超えたときか。

ア．0.4
イ．0.5
ウ．0.6
エ．0.7

解答：イ

公式2の解説にある通り、平均利用率が0.5の時に平均待ち時間 = 平均サービス時間になります。本問においては平均利用率→回線利用率、平均待ち時間→回線待ち時間、平均サービス時間→平均伝送時間となっていますが、公式については同じです。よって、平均利用率が0.5を超えたときに平均伝送時間が長くなっていくことから、イが正解です。

過去問④　平成30年秋期 問2、平成26年秋期 問3

コンピュータによる伝票処理システムがある。このシステムは，伝票データをためる待ち行列をもち，M/M/1の待ち行列モデルが適用できるものとする。平均待ち時間がT秒以上となるのは，処理装置の利用率が少なくとも何%以上となったときか。ここで，伝票データをためる待ち行列の特徴は次のとおりである。
・伝票データは，ポアソン分布に従って到着する。
・伝票データをためる数に制限はない。
・1件の伝票データの処理時間は，平均T秒の指数分布に従う。

ア．33
イ．50
ウ．67
エ．80

解答：イ

問い方が異なりますが過去問③と同じ趣旨の問題です。「平均待ち時間がT秒以上となるのは」と問われていますが、下に挙げられている特徴に「1件の伝票データの処理時間は，平均T秒の指数分布に従う。」とあることから、平均待ち時間≧平均処理時間（平均サービス時間のことです）となる値を求めればよいことになります。公式2の解説にある通り、平均待ち時間=平均サービス時間になるのは50%の時なので、イが正解です。