数値の表現

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負の数の表現（補数表現），小数の表現を理解する。
用語例固定小数点数，単精度浮動小数点数，倍精度浮動小数点数，仮数，指数，BCD（Binary Coded Decimal：2進化10進），パック10進数

基数の章では正の整数に限り取り扱いました。この章ではマイナスや小数点といった正の整数以外の表現方法について取り上げます。

負の数の表現
1. 符号＋絶対値で表す方式
2. 2の補数で表す方式
  1. 2の補数の求め方
  2. 表せる範囲
小数の表現
その他の表現方法
1. BCD（Binary Coded Decimal：2 進化 10 進）
2. パック10進数

負の数の表現

負の数とはマイナスの数です。基数の章では正の数しか取り扱いませんでした。ここでは負の数をどう表現するかについて解説します。

表現の方法はいくつかありますが、ここでは「符号＋絶対値方式」と「2の補数」の2つの方式について解説します。

符号＋絶対値で表す方式

符号＋絶対値で表す方式は、負の数を扱うための最も単純な方法です。その名の通り、先頭にプラスかマイナスの符号を付ける方式で、普段私たちが10進数でマイナスを扱う際も-3のように表現すると思います。

しかし、コンピュータ内部では必ず2進数で数を扱い、＋－のような符号も用いることができません。そこで通常、先頭1ビットについて正の数が0、負の数が1と決めて表現します。例えば01は＋1、11は-1となります。

普段使っている表現通りなので人間にとってはわかりやすい表現と言えますが、次のデメリットがあります。

0の表し方が2通りある
0の表現方法は00と10の二通りあります。同じ数値なのに2通り表現方法があると、コンピュータで数値を扱うときに処理が煩雑になることがあります。
計算が煩雑になる
加算・減算などの計算が、次に示す2の補数より煩雑になります。

これらのデメリットがあるため、コンピュータでよく使われるのは2の補数で表す方式です。

2の補数で表す方式

現在コンピュータで広く使われている負の数の表現方法が2の補数です。

2の補数とは、2進数においてある数について足すと1桁多くなる最小の数のことをいいます。n桁の2進数、ある数をxとすると以下の数式で表されます。

例えば、3桁2進数の011（10進数3）の2の補数は、次のように計算されます。

これは2進数で足すと1桁多くなる最小の数になっています。

加減算は「(3)算術演算と精度」で学習する内容です。

ある桁数で最大の数は全桁1である数です。また、最小の数は先頭1で他が0である数です。

3桁の2進数で表せる数を一覧にすると以下のようになります。

このように、3桁の2進数は符号なし数では0～7を表せますが、符号あり数(2の補数表現）では-4～3までの数を表すことができます。また、先頭1ビットが0の場合は正の数、1の場合は負の数を表しているため、符号＋絶対値で表す方式とも親和性が高いです。

左にある矢印ですが、これは2進数000から1を引いた数が111となり、これを-1としていることを表しています。000から1を引くときに、仮に先頭に1がついていて1000とすることにより無理やり引くと111になります。

2の補数表現の基本的な考えは以上ですが、実際に2の補数を求めるときの手順や表せる範囲について以下で詳しく見ていきます。

2の補数表現は3桁、4桁など桁数が決まっていることが前提となる表現方法です。コンピュータは物理的な回路によって数を表すため桁数が有限となります。そのため2の補数表現は有効な表現方法です。
また、計算機科学の世界では2進数の1桁を1ビットと呼ぶことから、これを3ビット、4ビットと呼ぶのが一般的です。ビットについては「大分類 2：コンピュータシステム」で詳しく学びます。

【参考】
京都産業大学　「負数の扱い」
https://www.cc.kyoto-su.ac.jp/~kbys/kiso/number/negative.html

2の補数の求め方

2進数の2の補数は、ある数の0と1を反転（符号反転と呼びます）させて1を足す方法により、容易に求められます。例えば、3ビットの2進数011では次のように求めます。

つまり、2進数の2の補数を負の数としたときに、ある数の負の数を求めたい場合はこの操作を行えば求めることができることになります。

符号反転させた数を2進数における1の補数と呼びます。これはある桁におけるある数について、足すとその桁における最大の数になる数です。

表せる範囲

負の数を2の補数で表す形式の場合、n桁で表現できる範囲は以下の通りです。

例えば、8桁の場合は以下のように計算できるため、-128～127になります。

負の数の方が1つ多く数を表せるのはゼロを正の数で使っているからです。

Javaのにおけるデータ型は以下の表のようになっており、ある桁で表せる範囲であることが分かります。8桁、16桁、36桁で表せるおおよその範囲は把握しておくと便利です。

データ型	ビット数	範囲
byte	8ビット	-128～127
short	16ビット	-32,768～32,767
int	32ビット	-2,146,483,648～2,146,483,647 （±20億くらい）
long	64ビット	-9,223,372,036,854,775,808～ 9,223,372,036,854,775,807 （±900京くらい）

小数の表現

ここまでは正負の整数について勉強してきました。ここからは小数点以下の値について勉強していきます。小数は12.345の345が小数となり、ドットより右側の値として表現します。2進数においても1010.001のように表現します。

小数において重要なのはかなり小さい値（例：0.0000001）や割り切れない値（例：1/3は0.33333…です）の存在です。コンピュータは8桁や16桁のように有限の桁で表現するため正確に表現することは難しく、近似値として表現せざるを得ず誤差が生じます。この問題の処理が大きな課題となります。

小数の表現方式として大きく固定小数点数と浮動小数点数があります。それぞれについて解説します。

固定小数点数

固定小数点数とは文字通り小数点の位置が決まっている小数の表現方式です。8ビットの2進数では例えば1010.0010のように「4ビットずつに分ける」と決めておく方式をいいます。この方式は見た目にはわかりやすいですが、表現できる幅が決まってしまっているため、例えば0000.0000000001011のような値を表現する場合、0000.0000になってしまうなど誤差が生じやすい方式です。そのため、一般的には次に解説する浮動小数点数を使用します。